Веселин Вешев е роден в град Бяла Слатина, където завършва средното си образование. Над 20 години живее в град Варна, където се запознава с идеите на “Възраждане” и се включва в структурата на партията.
Участвал е на състезания по културизъм през 1995 и 1997 година.
От 2000 година се явява на състезания по силов трибой и вдигане от лег. През 2001 и 2002 година става републикански вицешампион по вдигане от лег, а през 2003 г. става шампион. Защитава титлата си през 2004, 2005, 2006 и 2008 година. Три пъти подобрява републиканския рекорд по вдигане от лег в категорията си. Многократен републикански шампион по силов трибой за ветерани.
Тренира състезатели по силов трибой и културизъм. Бил е съдия на състезания по силов трибой, вдигане от лег и канадска борба.
Няколко години се занимава със селско стопанство, като малък фермер. Познава добре проблемите и перспективите на агросектора. Сблъсквал се е с много от проблемите, които срещат дребните стопани, знае къде има недостатъци в законодателството и как може да се помогне на хората, желаещи да се препитават по този начин. Това е и една от причините активно да работи по тази тема, посредством дейността си като народен представител, избран от Шумен и да защитава интересите на местните и българските производители.
През ноември 2021 година става общински съветник от “Възраждане” в Общински съвет Варна.
Той е част от 49, 50 и 51 Народно събрание, избран за народен представител от 30-ти МИР Шуменски. Член е на Комисията по въпросите на земеделието и храните и на Комисията по въпросите на младежта и спорта. Веселин Вешев също така е координатор е за областите Шумен, Търговище и Разград. Той е най-активният народен представител от своя избирателен район.
